Question

10．已知圓O：x²+y²=4和圓C：x²+y²-2x-y-2=0，記兩圓的公共弦所在的直線為l．
（I）求直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M任作一條直線與圓O相交于點(diǎn)A，B，是否存在x軸上的定點(diǎn)N，連接AN，BN，使得∠ANM=∠BNM，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用圓系方程，求出公共弦所在直線方程．
（Ⅱ）分類討論，利用∠ANM=∠BNM，k_AN+k_BN=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）圓O與圓C兩邊相減得l：2x+y-2=0---------（3分）
（II）由題意得M（1，0），當(dāng)AB⊥x軸時(shí)顯然成立．
當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.⇒（1+{k^2}）{x^2}-2{k^2}x+{k^2}-4=0$
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}}}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}$--------------------（5分）
由題意得N點(diǎn)不是M點(diǎn)，所以直線AN，BN的斜率存在∠ANM=∠BNM?k_AN+k_BN=0---------------------（7分）
∴$\frac{y_1}{{{x_1}-n}}+\frac{y_2}{{{x_2}-n}}=0⇒k（\frac{{{x_1}-1}}{{{x_1}-n}}+\frac{{{x_1}-1}}{{{x_2}-n}}）=0$⇒k[2x₁x₂-（n+1）（x₁+x₂）+2n]=0
由韋達(dá)定理得k[2n-8]=0，所以n=4---------------------（9分）
所以點(diǎn)N存在為N（4，0）---------------------（10分）

點(diǎn)評 本題考查相交弦所在直線的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，是中檔題．