Question

20．已知函數f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+φ），且f（$\frac{1}{2}$）=1，k∈Z，求函數f（x）的最小正周期，并求f（$\frac{1}{2}$+6k）的值．

Answer 1

分析 形如y=Asin（ωx+φ）型函數，其最小正周期T=$\frac{2π}{|ω|}$；
f（$\frac{1}{2}$+6k）=2sin[$\frac{2π}{3}$（$\frac{1}{2}$+6k）+φ]=2sin[$\frac{π}{3}$+φ+4kπ]=2sin（$\frac{π}{3}$+φ）．

解答 解：形如y=Asin（ωx+φ）型函數，其最小正周期T=$\frac{2π}{|ω|}$，
所以，函數f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+φ）的最小正周期為：$\frac{2π}{\frac{2π}{3}}$=3，
又∵f（$\frac{1}{2}$）=1，∴2sin（$\frac{2π}{3}$×$\frac{1}{2}$+φ）=1，
整理得，sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，
因此，f（$\frac{1}{2}$+6k）=2sin[$\frac{2π}{3}$（$\frac{1}{2}$+6k）+φ]
=2sin[$\frac{π}{3}$+φ+4kπ]=2sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
即f（$\frac{1}{2}$+6k）=1．

點評 本題主要考查了三角函數的圖象和性質，涉及周期的求法和函數值的解法，屬于基礎題．