Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知已知 

cosA

cosB

=

b

a

，且∠C=

2π

3

．
（1）求角A，B的大小；
（2）設函數f(x)=sin(2x+A)+cos(2x-

C

2

)，求函數f（x）在[-

π

8

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考點：解三角形,正弦函數的定義域和值域

專題：計算題

分析：（1）利用正弦定理可把已知條件化簡可得，sin2A=sin2B，從而可得A=B或A+B=

π

2

（舍去），進而可求∠C=

2π

3

，A=B=

π

6

（2）由（1）可得，∠C=

2π

3

，A=B=

π

6

代入函數中整理可得，f（x）=2sin（2x+

π

6

），由x∈[-

π

8

，

π

4

]，可得-

π

12

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，結合正弦函數y=sinx在[-

π

12

，

π

2

]上單調遞增，在[

π

2

，

2π

3

]上單調遞減可求函數f（x）的最小值為f(-

π

12

)=

2 - 6

2

，最大值為f(

π

2

)=2．
即函數f（x）在[-

π

8

，

π

4

]上的值域為[

2 - 6

2

，2]．

解答： 解：（1）因為

cosA

cosB

=

b

a

，由正弦定理得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即sin2A=sin2B（2分）
所以，A=B或A+B=

π

2

（舍去），∠C=

2π

3

，則A=B=

π

6

（4分）
（2）f(x)=sin(2x+A)+cos(2x-

C

2

)
=sin(2x+

π

6

)+cos(2x-

π

3

)=sin(2x+

π

6

)+cos(2x+

π

6

-

π

2

)=2sin(2x+

π

6

)（8分）
因為x∈[-

π

8

，

π

4

]，則-

π

12

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
而正弦函數y=sinx在[-

π

12

，

π

2

]上單調遞增，在[

π

2

，

2π

3

]上單調遞減．（11分）
所以，函數f（x）的最小值為f(-

π

12

)=

2 - 6

2

，最大值為f(

π

2

)=2．
即函數f（x）在[-

π

8

，

π

4

]上的值域為[

2 - 6

2

，2]（14分）

點評：本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，兩角和與差的三角公式，正弦函數在閉區(qū)間上的函數的值域的求解，綜合的知識較多，綜合性較好．