【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣kx+k.
(Ⅰ)若f(x)≥0有唯一解,求實(shí)數(shù)k的值;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a≤1時(shí),x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1.
(附:ln2≈0.69,ln3≈1.10, ,e2≈7.39)

【答案】解法一:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞). 要使f(x)≥0有唯一解,只需滿足f(x)max=0,且f(x)max=0的解唯一,(1分) ,
①當(dāng)k≤0時(shí),f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=0,
所以f(x)≥0的解集為[1,+∞),不符合題意;
②當(dāng)k>0時(shí),且 時(shí),f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng) 時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)有唯一的一個(gè)最大值為 ,
,得k=1,此時(shí)f(x)有唯一的一個(gè)最大值為f(1),且f(1)=0,故f(x)≥0的解集是{1},符合題意;
綜上,可得k=1.
(Ⅱ)要證當(dāng)a≤1時(shí),x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1,
即證當(dāng)a≤1時(shí),ex﹣ax2﹣xlnx﹣1>0,
即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0.(7分)
由(Ⅰ)得,當(dāng)k=1時(shí),f(x)≤0,即lnx≤x﹣1,從而xlnx≤x(x﹣1),
故只需證ex﹣2x2+x﹣1>0,當(dāng)x>0時(shí)成立;
令h(x)=ex﹣2x2+x﹣1(x≥0),則h'(x)=ex﹣4x+1,
令F(x)=h'(x),則F'(x)=ex﹣4,令F'(x)=0,得x=2ln2.
因?yàn)镕'(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(0,2ln2]時(shí),F(xiàn)'(x)≤0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減,即h'(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(2ln2,+∞)時(shí),F(xiàn)'(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增,即h'(x)單調(diào)遞增,
所以h'(ln4)=5﹣8ln2<0,h'(0)=2>0,h'(2)=e2﹣8+1>0,
由零點(diǎn)存在定理,可知x1∈(0,2ln2),x2∈(2ln2,2),使得h'(x1)=h'(x2)=0,
故當(dāng)0<x<x1或x>x2時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1<x<x2時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,所以h(x)的最小值是h(0)=0或h(x2).
由h'(x2)=0,得 ,h(x2)=
因?yàn)閤2∈(2ln2,2),所以h(x2)>0,
故當(dāng)x>0時(shí),h(x)>0,所以原不等式成立.
解法二:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞). ,(1分)
①當(dāng)k≤0時(shí),f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=0,所以f(x)≥0的解為[1,+∞),此時(shí)不符合題意;
②當(dāng)k>0時(shí), ,
所以當(dāng) 時(shí),f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng) 時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以 ,
令g(k)=k﹣lnk﹣1, ,
當(dāng)k∈(0,1]時(shí),g'(k)≤0,g(k)單調(diào)遞減,當(dāng)k∈(1,+∞)時(shí),g'(k)>0,g(k)單調(diào)遞增,所以g(k)≥g(1)=0,由此可得當(dāng)k>0且k≠1時(shí),
且當(dāng)x→0+ , x→+∞時(shí),f(x)→﹣∞,由零點(diǎn)存在定理, ,
使得f(x1)=f(x2)=0,當(dāng)x1≤x≤x2時(shí),f(x)≥0,解集不唯一,不符合題意;
當(dāng)k=1時(shí),f(x)≤f(1)=0,所以f(x)≥0的解集是{1},符合題意;
綜上可得,當(dāng)k=1時(shí),f(x)≥0有唯一解;
(Ⅱ)要證明當(dāng)a≤1時(shí),x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1,
即證當(dāng)a≤1時(shí),ex﹣ax2﹣xlnx﹣1>0,(因?yàn)閍x2≤x2
即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0,(7分)
令F(x)=ex﹣x2﹣xlnx﹣1(x>0),則F'(x)=ex﹣2x﹣lnx﹣1,
令G(x)=F'(x),則 在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且G'(1)<0,G'(2)>0,
所以x0∈(1,2)使得G'(x0)=0,即 ,
所以當(dāng)x>x0時(shí),G'(x)>0,G(x)單調(diào)遞增,即F'(x)遞增;
當(dāng)0<x<x0時(shí),G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減,即F'(x)遞減,
所以 ,
當(dāng)x∈(1,2)時(shí)遞減,F(xiàn)'(x0min<H(1)=0,
當(dāng)x→0時(shí),F(xiàn)'(x)→+∞, ,
由零點(diǎn)存在定理,可得x1∈(0,x0), ,F(xiàn)'(x1)=F'(x2)=0,
故當(dāng)0<x<x1或x>x2時(shí),F(xiàn)'(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x1<x<x2時(shí),F(xiàn)'(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x→0+時(shí),F(xiàn)(x)→0,由F'(x2)=0得, ,
又F(x2)= ,
令M(x)=﹣x2+2x+lnx﹣xlnx( ),
遞減,且M'(1)=0,所以M'(x)<0,
所以M(x)在 遞減, ,
所以當(dāng) ,M(x)>0,即F(x2)>0,
所以F(x)>0,即原不等式成立.
【解析】解法一:(Ⅰ)要使f(x)≥0有唯一解,只需滿足f(x)max=0,且f(x)max=0的解唯一,分①當(dāng)k≤0,②當(dāng)k>0 討論求解;(Ⅱ)要證當(dāng)a≤1時(shí),x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1,即證當(dāng)a≤1時(shí),ex﹣ax2﹣xlnx﹣1>0,即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0.由(Ⅰ)得xlnx≤x(x﹣1),故只需證ex﹣2x2+x﹣1>0,當(dāng)x>0時(shí)成立;解法二:(Ⅰ)分①當(dāng)k≤0時(shí),②當(dāng)k>0時(shí)兩種情況求解,(Ⅱ)要證明當(dāng)a≤1時(shí),x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1,即證當(dāng)a≤1時(shí),ex﹣ax2﹣xlnx﹣1>0,(因?yàn)閍x2≤x2),即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】探究函數(shù),x∈(0,+∞)取最小值時(shí)x的值,列表如下:

x

0.5

1

1.5

1.7

1.9

2

2.1

2.2

2.3

3

4

5

7

y

8.5

5

4.17

4.05

4.005

4

4.005

4.02

4.04

4.3

5

5.8

7.57

請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn),完成以下的問題:

(1)函數(shù)(x>0)在區(qū)間(0,2)上遞減;函數(shù)在區(qū)間________上遞增.當(dāng)x=_________時(shí),_______.

(2)證明:函數(shù)(x>0)在區(qū)間(O2)上遞減.

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【題目】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知

(1)求

(2)若,求的面積.

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【題目】已知函數(shù) ,其中 .

(1)當(dāng) 時(shí),求函數(shù) 處的切線方程;

(2)若函數(shù) 在定義域上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】十九大指出中國(guó)的電動(dòng)汽車革命早已展開,通過以新能源汽車替代汽/柴油車,中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2019年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場(chǎng)分析,全年需投入固定成本2500萬元,每生產(chǎn)x(百輛),需另投入成本萬元,且.由市場(chǎng)調(diào)研知,每輛車售價(jià)5萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

(1)求出2019年的利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤(rùn)=銷售額-成本)

(2)2019年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).

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【題目】在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P,沿著折線BCDA由點(diǎn)B(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,APB的面積為y,yx之間的函數(shù)關(guān)系式用如圖所示的程序框圖給出.

(1)寫出程序框圖中①,,③處應(yīng)填充的式子.

(2)若輸出的面積y值為6,則路程x的值為多少?

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【題目】余江人熱情好客,凡逢喜事,一定要擺上酒宴,請(qǐng)親朋好友、同事高鄰來助興慶賀.歡度佳節(jié),迎親嫁女,喬遷新居,學(xué)業(yè)有成,仕途風(fēng)順,添丁加口,朋友相聚,都要以酒示意,借酒表達(dá)內(nèi)心的歡喜.而凡有酒宴,一定要?jiǎng)澣,劃拳是余江酒文化的特色.余江人劃拳注重禮節(jié),形式多樣;講究規(guī)矩,蘊(yùn)含著濃厚的傳統(tǒng)文化和淳樸的民俗特色.在禮節(jié)上,講究“尊老尚賢敬遠(yuǎn)客”一般是東道主自己或委托桌上一位酒量好的劃拳高手來“做關(guān)”,﹣﹣就是依次陪桌上會(huì)劃拳的劃一年數(shù)十二拳(也有半年數(shù)六拳).十二拳之后晚輩還要敬長(zhǎng)輩一杯酒. 再一次家族宴上,小明先陪他的叔叔猜拳12下,最后他還要敬他叔叔一杯,規(guī)則如下:前兩拳只有小明猜贏叔叔,叔叔才會(huì)喝下這杯敬酒,且小明也要陪喝,如果第一拳小明沒猜到,則小明喝下第一杯酒,繼續(xù)猜第二拳,沒猜到繼續(xù)喝第二杯,但第三拳不管誰贏雙方同飲自己杯中酒,假設(shè)小明每拳贏叔叔的概率為 ,問在敬酒這環(huán)節(jié)小明喝酒三杯的概率是多少(
(猜拳只是一種娛樂,喝酒千萬不要過量。

A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+ ),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)y=2f(x)+f′(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(
A.[ , ]
B.[﹣ , ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ ]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在區(qū)間[0,2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,則函數(shù)f(x)=x3+ax﹣b在區(qū)間[﹣1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是(
A.
B.
C.
D.

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