Question

一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x²=2y（0≤y≤20）．在杯內(nèi)放入一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的范圍是（　�。�

• A、0＜r≤1
• B、0＜r＜1
• C、0＜r≤2
• D、0＜r＜2

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)小球圓心（0，y₀），拋物線上點(diǎn)（x，y），求得點(diǎn)到圓心距離平方的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)若r²最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底，需1-y₀≥0，進(jìn)而求得r的范圍．

解答： 解：設(shè)小球圓心（0，y₀），拋物線上點(diǎn)（x，y），則
點(diǎn)到圓心距離平方r²=x²+（y-y₀）²=2y+（y-y₀）²=r²+2（1-y₀）y+y₀²．
若r²最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底，故此二次函數(shù)的對稱軸位置應(yīng)在y軸的左側(cè)，
所以1-y₀≥0，所以0＜y₀≤1，
所以0＜r≤1．
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，考查了學(xué)生利用拋物線的基本知識解決實(shí)際問題的能力，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．