【題目】如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形，且,為中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由平面，可得，再由正方形中，得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得證；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，再由向量的夾角運(yùn)算可求得二面角的余弦值.

解：（1）證明：平面，，

又正方形中，，平面，

又平面，，，是的中點(diǎn)，

所以，平面

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：

，

設(shè)平面的法向量為，則，

，令，得到，，

平面，，

又正方形中，，平面

又，

平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，由圖示可知二面角為銳角，

則.二面角的余弦值為.

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捕魚量(單位：噸)

頻數(shù)

2

7

7

3

1

根據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì)近20年此地每年100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣情況如下表（捕魚期內(nèi)的每個(gè)晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：

晴好天氣(單位：天)

頻數(shù)

2

7

6

3

2

（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表）

（Ⅰ）估計(jì)漁業(yè)捕撈隊(duì)噸位為的漁船一天的捕魚量的平均數(shù)；

（Ⅱ）若以（Ⅰ）中確定的平均數(shù)作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時(shí)一天的捕魚量.

①估計(jì)一艘上述噸位的捕魚船一年在捕魚期內(nèi)的捕魚總量；

②已知當(dāng)?shù)佤~價(jià)為2萬(wàn)元/噸，此種捕魚船在捕魚期內(nèi)捕魚時(shí)，每天成本為10萬(wàn)元/艘；若不捕魚，每天成本為2萬(wàn)元/艘，請(qǐng)依據(jù)往年天氣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)一艘此種捕魚船年利潤(rùn)不少于1600萬(wàn)元的概率.

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