Question

已知定點(diǎn)F（2，0）與分別在x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)M（m，0）、N（0，n）滿足：

MN

•

NF

=0，動(dòng)點(diǎn)P滿足

MN

=

NP

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F任作一直線與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，直線OA、OB與直線l：x=-2分別交于點(diǎn)S、T（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（i）試判斷直線l：x=-2與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系；
（ii）探究

FS

•

FT

是否為定值？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由

MN

•

NF

=0，得n²+2m=0．由此利用（-m，n）=（x，y-n能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）（i）設(shè)直線AB的方程為x=ty+2，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)A，B兩點(diǎn)到準(zhǔn)l：-2的距離分別為d_A=|AF|，d_B=|BF|，設(shè)AB的中點(diǎn)C到準(zhǔn)線的距離為d_C，由dC=

1

2

(dA+dB)能求出直線l：x=-2與以AB為直線的圓相切．
（ii）由

x=ty+2 y2=8x

得y²-8ty-16=0，由已知條件分別求出S（-2，-

16

y1

），T（-2，-

16

y2

），由此能求出

FS

•

FT

為定值0．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則

NP

=(x，y-n)，
又

NF

=(2，-n)，

MN

=(-m，n)，由

MN

•

NF

=0，得n²+2m=0．
∵

MN

=

NP

，∴（-m，n）=（x，y-n），∴

m=-x n= y 2

，
代入n²+2m=0，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=8x．
（2）由（1）知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以F（2，0）為焦點(diǎn)，l：x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)直線AB的方程為x=ty+2；點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）設(shè)A，B兩點(diǎn)到準(zhǔn)l：-2的距離分別為d_A，d_B，則d_A=|AF|，d_B=|BF|，
設(shè)AB的中點(diǎn)C到準(zhǔn)線的距離為d_C，
則dC=

1

2

(dA+dB)=

1

2

(|AF|+|BF|)=

1

2

|AB|，
∴直線l：x=-2與以AB為直線的圓相切．
（ii）由

x=ty+2 y2=8x

得y²-8ty-16=0，∴y₁y₂=-16，…（10分）
∵OA的方程為y=

y1

x1

x，即y=

8

y1

x，
由

x=-2 y= 8 y1 x

，得點(diǎn)S的坐標(biāo)為S（-2，-

16

y1

），
同理可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為T（-2，-

16

y2

），…（11分）
∴

FS

=(-4，-

16

y1

)，

FT

=(-4，-

16

y2

)，
于是

FS

•

FT

=16+

16×16

y1y2

=16+

16×16

-16

=0，…（12分）
因此

FS

•

FT

為定值，且定值為0．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查向量的數(shù)量積是否為定值的探究與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．