Question

設(shè)實(shí)數(shù)a，b∈R，函數(shù)f（x）=acos

x

2

（

3

sin

x

2

+cos

x

2

）+b．
（1）若a＞0，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）的最大值為2，最小值為-4，試確定a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）逆用倍角公式及兩角和的正弦公式化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由函數(shù)的最大值為2，最小值為-4，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組求解，但要根據(jù)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論．

解答： 解：（1）f（x）=acos

x

2

（

3

sin

x

2

+cos

x

2

）+b
=

3

acos

x

2

sin

x

2

+acos²

x

2

+b
=

3

2

asinx+

1

2

+

1

2

cosx+b
=asin（x+

π

6

）+b+

1

2

由-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
得-

2

3

π+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ（k∈Z）
∴當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]（k∈Z）；
（2）∵f（x）的最大值為2，最小值為-4，
∴當(dāng)a＞時(shí)，a+b+

1

2

=2，-a+b+

1

2

=-4
解得：a=3，b=-

3

2

．
當(dāng)a＜0時(shí)，a+b+

1

2

=-4，-a+b+

1

2

=2
解得：a=-3，b=-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式及兩角和差公式的逆用以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決題目的關(guān)鍵是利用公式化成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式；第（2）問要注意根據(jù)a正負(fù)進(jìn)行分類討論．