Question

設(shè)a＞1，b＞0，若a+b=2，則

1

a-1

+

2

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由a+b=2，a＞1，可得b=2-a＞0，1＜a＜2．令

1

a-1

+

2

b

=

1

a-1

+

2

2-a

=f（a），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵a+b=2，∴b=2-a＞0，解得a＜2，又a＞1，1＜a＜2．
∴

1

a-1

+

2

b

=

1

a-1

+

2

2-a

=f（a），
f′（a）=-

1

(a-1)2

+

2

(2-a)2

=

a2-2

(a2-3a+2)2

，
令f′（a）=0，及1＜a＜2．解得a=

2

．
當(dāng)a∈(1，

2

)時(shí)，f′（a）＜0，函數(shù)f（a）單調(diào)遞減；當(dāng)a∈(

2

，2)時(shí)，函數(shù)f′（a）＞0，函數(shù)f（a）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)a=

2

時(shí)，f（a）取得極小值即最小值，f(

2

)=3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．