Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性并加以證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解∵函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，

∴ =0

解得b=1

（2）解由（1）知f（x）= = = + ，

設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）= + + ﹣ = ＞0，

∴函數(shù)f（x）為減函數(shù)

（3）解∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，

∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k）恒成立，

∵函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)．

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，

∴k＜3t2﹣2t=3（t﹣ ）2﹣ ，

∴k＜﹣ ，

故k的取值范圍為（﹣∞， ）

【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)推斷出f（0）=0求得b的值．（2）先分離常數(shù)，再利用單調(diào)性的定義證明即可．（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，得到t2﹣2t＞﹣2t2+k，再分離參數(shù)k，求出函數(shù)3t2﹣2t的最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識點，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題．