Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的

3

倍，其上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為

3

-

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+1交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=2時(shí)求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用長軸長是短軸長的

3

倍，其上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為

3

-

2

，求出a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=kx+1代入

x2

3

+y2=1，利用弦長公式求出|AB|，利用|AB|=2，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）由題可知：a-c=

3

-

2

，a=

3

b，
∴a=

3

，b=1
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1；------------------------（5分）
（2）直線l：y=kx+1代入

x2

3

+y2=1，可得（3k²+1）x²+6kx=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=0，x₂=-

6k

3k2+1

∴|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+k2

•|-

6k

3k2+1

|=2-------------------（9分）     
∴k=±

3

3

，
∴直線l的方程為：y=±

3

3

x+1------------------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，考查弦長公式，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．