Question

已知在空間四邊形ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC，PA、PB與平面ABC所成角分別是30°、45°
（1）直線PC與AB能否垂直？證明你的結(jié)論；
（2）若點P到平面ABC的距離為h，求點P到直線AB的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）直線PC與AB不能垂直，利用反證法進行證明即可；
（2）作HE⊥AB于E，證明PE就是點P到直線AB的距離，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）直線PC與AB不能垂直，證明如下：
假設(shè)PC⊥AB，作PH⊥平面ABC于H，則HC是PC在平面ABC內(nèi)的射影，
∴HC⊥AB，
∵PA，PB在平面ABC內(nèi)的射影分別為HB，HA，PA⊥PC，PB⊥BC，
∴BH⊥BC，AH⊥AC，
∵AC⊥BC，
∴平行四邊形ACBH為矩形．
∵HC⊥AB，
∴ACBH為正方形，
∴HB=HA，
∵PH⊥平面ABC，
∴△PHB℃△PHA，
∴∠PBH=∠PAH，且PA、PB與平面ABC所成角分別為∠PAH，∠PBH，
∴∠PAH=30°，∠PBH=45°，
與∠PBH=∠PAH矛盾，
∴直線PC與AB不能垂直；
（2）由已知PH=h，∴∠PBH=45°，
∴BH=PH=h，
∵∠PAH=30°，
∴HA=

3

h，
∴矩形ACBH中，AB=

BH2+HA2

=2h，
作HE⊥AB于E，
∴HE=

HB•HA

AB

=

3

2

h，
∵PH⊥平面ACBH，HE⊥AB，
∴由三垂線定理有PE⊥AB，
∴PE就是點P到直線AB的距離，
在Rt△PHE中，PE=

PH2+HE2

=

7

2

h．

點評：本題考查線線位置關(guān)系，考查點P到直線AB的距離，考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．