Question

【題目】如圖，已知四棱臺上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，，且
底面，點，分別在棱，上.
(1)若是是的中點，證明：;
(2若//平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積

Answer 1

【答案】由題意得， A A 1 , A B , A D 兩兩垂直，以 A 為坐標(biāo)原點， A B , A D , A A 1 所在直線分別為 x 軸 y 軸 z 軸,建立如圖下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為 A ( 0 , 0 , 0 ) , B 1 ( 3 , 0 , 6 ) , D ( 0 , 6 , 0 ) , D 1 ( 0 , 3 , 6 ) , Q ( 6 , m , 0 ) , 其中 m = B Q , 0 ≤ m ≤ 6 .

（1）若是的中點，則于是所以.即
（2）由題意設(shè)知，是平面內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)是平面的一個法向量，則即,取得,又平面的一個法向量所以
而二面角P-QD-A的余弦值為 ， 因此=解得.m=4或者m=8（舍去）此時Q（6,4,0）設(shè)而=(0，-3，6)由此得點P因為PQ//平面ABB1A1且平面ABB1A1的一個法向量=(0,1,0)所以，·=0即，亦即得從而P（0,4,4,）于是將四面體ADPQ視為以ADQ為底面的三棱錐P-ADQ 則其高h(yuǎn)=4故四面體ADPQ的體積




【解析】由題意得，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸軸軸,建立如圖下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為其中.

（1）若是的中點，則于是所以.即
（2）由題意設(shè)知，是平面內(nèi)的兩個不共線向量.設(shè)是平面的一個法向量，則即,取得,又平面的一個法向量所以
而二面角P-QD-A的余弦值為，因此=解得.m=4或者m=8（舍去）此時Q（6,4,0）設(shè)而=(0，-3，6)由此得點P因為PQ//平面ABB1A1且平面ABB1A1的一個法向量=(0,1,0)所以，·=0即，亦即得從而P（0,4,4,）于是將四面體ADPQ視為以ADQ為底面的三棱錐P-ADQ 則其高h(yuǎn)=4故四面體ADPQ的體積




【考點精析】通過靈活運用向量的三角形法則和平面向量的坐標(biāo)運算，掌握三角形加法法則的特點：首尾相連;三角形減法法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量；坐標(biāo)運算：設(shè)，則;;設(shè)，則即可以解答此題．