Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a-2）x為奇函數(shù)，在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=x-2，則f（x₀）=（　�。�

• A、1
• B、-1
• C、1或-1
• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)是奇函數(shù)求得a的值，代入原函數(shù)后求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)等于1求得點(diǎn)（x₀，f（x₀））的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得f（x₀）的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a-2）x為奇函數(shù)，
f（-1）=（-1）³+a•（-1）²+（a-2）•（-1）=1，
-f（1）=-2a+1，
∴f（-1）=-f（1），即-2a+1=1，a=0．
∴f（x）=x³-2x，
f′(x0)=3x02-2，
∵函數(shù)在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=x-2，
∴3x02-2=1，解得x₀=±1．
當(dāng)x₀=1時，f（x₀）=-1，
當(dāng)x₀=-1時，f（x₀）=1．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值就是對應(yīng)曲線上該點(diǎn)處的切線的斜率，是中檔題．