Question

已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，若橢圓方程是

x2

16

+

y2

8

=1，則雙曲線方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓方程求得其焦點坐標(biāo)和離心率，進而可得雙曲線的焦點坐標(biāo)和離心率，進而可得雙曲線的方程．

解答： 解：在橢圓中，a²=16，b²=8，則c²=16-8=8，
即a=4，c=

8

=2

2

，
則橢圓的離心率e=

c

a

=

2 2

4

=

2

2

，
∵橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，
∴雙曲線的離心率e=

2

2

=

2

，
∵雙曲線的c=2

2

，
∴雙曲線中e=

c

a

=

2 2

a

=

2

，解得雙曲線中a=2，
則雙曲線中b²=c²-a²=8-4=4，
即雙曲線方程為

x2

4

-

y2

4

=1，
故答案為：

x2

4

-

y2

4

=1

點評：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．要記住雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)．