Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）若在函數(shù)定義域內(nèi)，總有成立，試求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得實(shí)數(shù)的值；（2）求導(dǎo)數(shù)并分解因式，根據(jù)a與1的大小分類討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）先化簡不等式，并根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： 最大值不大于零，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值

從而有的最大值，最后利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，即得實(shí)數(shù)的最大值.

試題解析：（Ⅰ）易得，且

由題意，得，解得，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

①當(dāng)時(shí)， ， 函數(shù)在單調(diào)遞減，

②當(dāng)時(shí)，由，得；

由，得或

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)時(shí)，同理，得

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅲ）由題意，知恒成立，

恒成立，

恒成立，

令，則只需

，

由，得，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

令，則只需

由，得，此時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

由，得，此時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

，

即

故所求實(shí)數(shù)的最大值為