Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+1=S_n+1（n∈N^*），a₁=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為d_n的等差數(shù)列，求數(shù)列$\{\frac{1}{d_n}\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=S_n+1（n∈N^*），可得a_n=S_n-1+1（n∈N^*，n≥2），兩者相減得a_n+1=2a_n（n∈N^*，n≥2），利用a₁=1，計(jì)算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{1}{d_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$，寫出T_n、$\frac{1}{2}{T}_{n}$的不等式，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=S_n-1+1（n∈N^*，n≥2），
兩式相減，得a_n+1=2a_n（n∈N^*，n≥2），
又a₁=1，∴a₂=S₁+1=a₁+1=2=2a₁，
∴${a_n}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a_n}={2^{n-1}}$，${a_{n+1}}={2^n}$，
所以${d_n}=\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{n+1}=\frac{{{2^{n-1}}}}{n+1}$，$\frac{1}{d_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$，
則${T_n}=\frac{2}{2^0}+\frac{3}{2^1}+\frac{4}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n+1}{2^n}$，
兩式相減，得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+1}{2^n}=2+\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n+1}{2^n}=3-\frac{n+3}{2^n}$
所以${T_n}=6-\frac{n+3}{{{2^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理能力、分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．