Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是邊長(zhǎng)是1的正方形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)；
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：BC⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：

分析：（1）做DC的中點(diǎn)E，連接ME，NE，通過中位線的性質(zhì)證明出NE∥PD，EM∥AD，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理分別證明出NE，EM平行面面ADP，進(jìn)而根據(jù)面面平行的判定定理證明出面MNE∥面ADP，繼而根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明出MN∥平面PAD．
（2）先分別證明出BC⊥CD，PD⊥BC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PCD．

解答： 證明：（1）做DC的中點(diǎn)E，連接ME，NE，
∵M(jìn)，N，E，均為中點(diǎn)，
∴NE∥PD，EM∥AD，
∵PD?平面PAD，AD?平面PAD，AD∩PD=D，
∴面MNE∥面ADP，
∵M(jìn)N?面MNE，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)線面平行，線面垂直判定定理的記憶．