Question

【題目】已知函數(shù)，.

(I)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若存在極小值點(diǎn)，且，其中，求證: ；

(Ⅲ)試問過點(diǎn)可作多少條直線與的圖像相切?并說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)答案見解析.

【解析】分析：（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算即可得到單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在極小值點(diǎn)，，則，由可得，化簡(jiǎn)代入，即可得到證明；

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是，依題意：，化簡(jiǎn)得：

設(shè)，，故函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是曲線切線的條數(shù).，接下來對(duì)a進(jìn)行分析討論即可.

解析：(1) ，

所以的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；

(2) ，存在極小值點(diǎn)，則.

，則，

所以 代入所以 ，

則，又，所以；

(3) 時(shí)，有1條切線；時(shí)，有2條切線.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是，依題意：

即，化簡(jiǎn)得：

設(shè)，

故函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是曲線切線的條數(shù).

，

①當(dāng)時(shí)， ，在上恰有一個(gè)零點(diǎn)1；

②當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，

在上單調(diào)遞減，且，

故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)， 在上恰有個(gè)零點(diǎn)；

③時(shí)，在上遞減，在上遞增，

故在至多有兩個(gè)零點(diǎn)，且

又函數(shù)在單調(diào)遞增，且值域是，

故對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在，使，此時(shí)

由于，

函數(shù)在上必有一零點(diǎn)；

先證明當(dāng)時(shí)， ，即證

若，，而，由于

若，構(gòu)建函數(shù)

，

在為增函數(shù)，

綜上時(shí)，，所以

，故

又，，所以在必有一零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上：時(shí)，有1條切線；時(shí)，有2條切線.