【題目】已知函數(shù)f(x)= +x.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1))處的切線經過點(0,﹣1),求a的值;
(2)是否存在負整數(shù)a,使函數(shù)f(x)的極大值為正值?若存在,求出所有負整數(shù)a的值;若不存在,請說明理由;
(3)設a>0,求證:函數(shù)f(x)既有極大值,又有極小值.
【答案】
(1)解:∵ ,f′(1)=1,f(1)=ae+1
∴函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程為:y﹣(ae+1)=x﹣1,又直線過點(0,﹣1)
∴﹣1﹣(ae+1)=﹣1,解得:a=﹣
(2)解:若a<0,∵ (x≠0),
當x∈(﹣∞,0)時,f′(x)>0恒成立,函數(shù)在(﹣∞,0)上無極值;
當x∈(0,1)時,f′(x)>0恒成立,函數(shù)在(0,1)上無極值;
在x∈(1,+∞)時,令H(x)=aex(x﹣1)+x2,則H′(x)=(aex+2)x,
∵x∈(1,+∞),∴ex∈(e,+∞,)∵a為負整數(shù)∴a≤﹣1,∴aex≤ae≤﹣e
∴aex+2<0,∴H′(x)<0,∴H(x)在(1,+∞)上單調減,
又H(1)=1>0,H(2)=ae2+4≤﹣e2+4<0∴x0∈(1,2),使得H(x0)=0
且1<x<x0時,H′(x)>0,即f′(x)>0;x>x0時,H′(x)<0,即f′(x)<0;
∴f(x)在x0處取得極大值 (*)
又H(x0)=aex0(x0﹣1)+x02=0,∴ 代入(*)得:
,∴不存在負整數(shù)a滿足條件
(3)解:設g(x)=aex(x﹣1)+x2,則g′(x)=(aex+2)x,
因為a>0,所以,當x>0時,g′(x)>0,g(x)單調遞增;
當x<0時,g′(x)<0,g(x)單調遞減;故g(x)至多兩個零點.
又g(0)=﹣a<0,g(1)=1>0,所以存在x1∈(0,1),使g(x1)=0
再由g(x)在(0,+∞)上單調遞增知,
當x∈(0,x1)時,g(x)<0,故f′(x)= ,f(x)單調遞減;
當x∈(x2,+∞)時,g(x)>0,故故f′(x)= ,f(x)單調遞增;
所以函數(shù)f(x)在x1處取得極小值.
當x<0時,ex<1,且x﹣1<0,
所以g(x)=aex(x﹣1)+x2>a(x﹣1)+x2=x2+ax﹣a,
函數(shù)y=x2+ax﹣a是關于x的二次函數(shù),必存在負實數(shù)t,使g(t)>0,又g(0)=﹣a<0,
故在(t,0)上存在x2,使g(x2)=0,
再由g(x)在(﹣∞,0)上單調遞減知,
當x∈(﹣∞,x2)時,g(x)>0,故f′(x)= ,f(x)單調遞增;
當x∈(x2,0)時,g(x)<0,故f′(x)= ,f(x)單調遞減;
所以函數(shù)f(x)在x2處取得極大值.
綜上,函數(shù)f(x)既有極大值,又有極小值
【解析】(1)第一步確定切點;第二步求斜率,即求曲線上該點的導數(shù);第三步利用點斜式求出直線方程.(2)根據(jù)可導函數(shù)極值的定義,找到極值點,求出極值,當極大值為正數(shù)時,從而判定負整數(shù)是否存在;(3)利用單調性與極值的關系,求證:既存在極大值,有存在極小值.
【考點精析】利用函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(題文)已知平面內一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y軸的距離的差等于1.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設l1與軌跡C相交于點A,B,l2與軌跡C相交于點D,E,求·的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(1﹣a|x|)+1(a>0),若f(x+a)≤f(x)對任意的x∈R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每隔30 min從該生產線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸:
抽取順序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
零件尺寸 | 9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
零件尺寸 | 10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經計算得=xi=9.97,s==≈0.212,≈18.439,(xi﹣)(i﹣8.5)=﹣2.78,
其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.
(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數(shù)r,并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產
過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地
變大或變小).
(2)一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(﹣3s,+3s)之外的零件,就認為這條生產線在這一天
的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查.
、購倪@一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產過程進行檢查?
、谠(﹣3s,+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產線當天生產的零件尺寸的
均值與標準差.(精確到0.01)
附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關系數(shù)r=,≈0.09.
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【題目】某校高一年級3個班有10名學生在全國英語能力大賽中獲獎,學生來源人數(shù)如表:
班別 | 高一(1)班 | 高一(2)班 | 高一(3)班 |
人數(shù) | 3 | 6 | 1 |
若要求從10位同學中選出兩位同學介紹學習經驗,設其中來自高一(1)班的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設常數(shù),函數(shù).
(1) 若,求的單調遞減區(qū)間;
(2) 若為奇函數(shù),且關于的不等式對所有的恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3) 當時,若方程有三個不相等的實數(shù)根、、,且,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】潮州統(tǒng)計局就某地居民的月收入調查了人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分
布直方圖(每個分組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示收入在)。
(1)求居民月收入在的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系,必須按月收入再從這人中分層抽樣方法抽出人作進一步分析,則月收入在的這段應抽多少人?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2017年存節(jié)期間,某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動,消費每超過600 元(含600元),均可抽獎一次,抽獎方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種. 方案一:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,一次性摸出3個球,其中獎規(guī)則為:若摸到3個紅球,享受免單優(yōu)惠;若摸到2個紅球,則打6折;若摸到1個紅球,則打7折;若沒摸到紅球,則不打折.
方案二:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.
(1)若兩個顧客均分別消費了 600元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率;
(2)若某顧客消費恰好滿1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算.
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