Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距為3

2

，其中一條漸近線的方程為x-

2

y=0．以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點O的動直線與橢圓E交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點P為橢圓的左頂點，

PG

=2

GO

，求|

GA

|2+|

GB

|2的取值范圍；
（Ⅲ）若點P滿足|PA|=|PB|，求證

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a2+b2=

9

2

，

b

a

=

2

2

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）由已知條件知P（-

3

，0），設(shè)G（x₀，y₀），由

PG

=2

GO

，推導(dǎo)出G（-

3

3

，0），由此能求出|

GA

|2+|

GB

|2的取值范圍．
（Ⅲ）由|PA|=|PB|，知P在線段AB垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A，B關(guān)于原點對稱，由此能夠證明

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

為定值．

解答： （Ⅰ）解：∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距為3

2

，∴c=

3 2

2

，
∴a2+b2=

9

2

，①
∵一條漸近線的方程為x-

2

y=0，
∴

b

a

=

2

2

，②
由①②解得a²=3，b²=

3

2

，
∴橢圓E的方程為

x2

3

+

2

3

y2=1．
（Ⅱ）解：∵點P為橢圓的左頂點，∴P（-

3

，0），
設(shè)G（x₀，y₀），由

PG

=2

GO

，得（x₀+

3

，y₀）=2（-x₀，-y₀），
∴

x0+ 3 =-2x0 y0 =-2y0

，解得

x0=- 3 3 y0=0

，∴G（-

3

3

，0），
設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
|

GA

|²+|

GB

|²=（x1+

3

3

）²+y12+（x₁-

3

3

）²+y12
=2x12+2y12+

2

3

=2x12+3-x 12+

2

3

=x12+

11

3

，
又∵x₁∈[-

3

，

3

]，∴x12∈[0，3]，
∴

11

3

≤x12+

11

3

≤

20

3

，
∴|

GA

|2+|

GB

|2的取值范圍是[

11

3

，

20

3

]．
（Ⅲ）證明：由|PA|=|PB|，知P在線段AB垂直平分線上，
由橢圓的對稱性知A，B關(guān)于原點對稱，
①若A、B在橢圓的短軸頂點上，則點P在橢圓的長軸頂點上，
此時

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2（

1

a2

+

1

b2

）
=2．
②當點A，B，P不是橢圓的頂點時，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），
則直線OP的方程為y=-

1

k

x，設(shè)A（x₁，y₁），
由

y=kx x2 3 + 2y2 3 =1

，解得x12=

3

1+2k2

，y12=

3k2

1+2k2

，
∴|OA|²+|OB|²=x12+y12=

3(1+k2)

1+2k2

，
用-

1

k

代換k，得|OP|²=

3(1+k2)

2+k2

，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

=

1+2k2

3(1+k2)

+

1+2k2

3(1+k2)

+

2(2+k2)

3(1+k2)

=2，
綜上所述：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

=2．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段之和取值范圍的求法，考查線段之和為定值的證明，解題要注意直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．