Question

設數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n²-4n+1．
（1）若a₁=3，求證：存在f（n）=an²+bn+c（a，b，c為常數(shù)），使數(shù)列{a_n+f（n）}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n是一個等差數(shù)列{b_n}的前n項和，求首項a₁的值與數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設a_n+1 +a（n+1）²+b（n+1）+c=2（a_n+an²+bn+c），即 a_n+1=2a_n+an²+（b-2a）n+c-a-b，
由已知得

a=1 b-2a=-4 c-a-b=1

，求得a、b、c的值，可得存在f（n）=n²-2n，從而求得 a_n 的解析式．
（2）由可得（a_n+n²-2n）=（a₁-1）•2^n-1，即 a_n=-n²+2n+（a₁-1）•2^n-1，再根據(jù)a_n是一個等差數(shù)列{b_n}的前n項和，求出求首項a₁的值與數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n²-4n+1，
設a_n+1 +a（n+1）²+b（n+1）+c=2（a_n+an²+bn+c），即 a_n+1=2a_n+an²+（b-2a）n+c-a-b，
∴

a=1 b-2a=-4 c-a-b=1

，即

a=1 b=-2 c=0

．
∵a₁+1-2=2，∴存在f（n）=n²-2n，使數(shù)列{a_n+f（n）}是等比數(shù)列，
∴a_n+n²-2n=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-n²+2n．
（2）∵a_n是一個等差數(shù)列{b_n}的前n項和，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+n²-4n+1，
即 a_n+1 +（n+1）²-2（n+1）=2（a_n+n²-n ），
即a_n+1+（n+1）²-2（n+1）=2（a_n+n²-2n），
∴（a_n+n²-2n）=（a₁-1）•2^n-1，故a_n=-n²+2n+（a₁-1）•2^n-1，
∴b_n=

a1，n=1 (a1-1)•2n-2-2n+3，n≥2

．
再根據(jù){b_n}是等差數(shù)列，可得b_n的通項公式是關于n的一次函數(shù)，
∴a₁=1，a_n=-2n+3．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比關系的確定，屬于中檔題．