Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a²-x²+2x在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，即可求不等式f（x）≥3的解集；
（2）分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，利用不等式f（x）＞a²-x²+2x在R上恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）x＜-1時(shí)，不等式可化為1-x-x-1≥3，∴x≤-$\frac{3}{2}$，∴x≤-$\frac{3}{2}$；
-1≤x≤1時(shí)，不等式可化為1-x+x+1≥3，不成立；
x＞1時(shí)，不等式可化為x-1+x+1≥3，∴x≥$\frac{3}{2}$，∴x≥$\frac{3}{2}$，
∴不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{3}{2}$}；
（2）x＜-1時(shí)，不等式f（x）＞a²-x²+2x可化為a²＜（x-2）²-4，∴a²＜5，∴-$\sqrt{5}$＜a＜$\sqrt{5}$；
-1≤x≤1時(shí)，不等式f（x）＞a²-x²+2x可化為a²＜（x-1）²+1，∴a²＜1，∴-1＜a＜1；
x＞1時(shí)，不等式f（x）＞a²-x²+2x可化為a²＜x²，∴a²＜1，∴-1＜a＜1，
∴-$\sqrt{5}$＜a＜$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．