Question

【題目】已知曲線C 的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），以直角坐標系原點O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C 的極坐標方程；
（Ⅱ）設l1：θ= ，l2：θ= ，若l 1、l2與曲線C 相交于異于原點的兩點 A、B，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），利用sin2α+cos2α=1，

， =y﹣1，可得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

∴曲線C的普通方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

將 代入并化簡得：ρ=4cosθ+2sinθ

即曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ+2sinθ．

（Ⅱ）解法一：在極坐標系中，C：ρ=4cosθ+2sinθ

∴由 得到 ；

同理 ．

又∵

∴ ．

即△AOB的面積為 ．…

解法二：在平面直角坐標系中，C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5

l1：θ= ，l2：θ= ，可得 ，

∴由 得

∴

同理

∴ ，

又∵

∴

即△AOB的面積為 ．

【解析】（1）先將參數(shù)方程進行消參（sin2α+cos2α=1），在根據(jù)定義轉化為極坐標方程；（2）利用極坐標方程解出OA、OB的長度，得出∠AOB的度數(shù)，由三角形面積可得.