Question

已知函f（x）=ln x，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）．
（1）若a=-2時(shí)，函h（x）=f（x）-g（x），在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（3）當(dāng)a=-2，b=4時(shí)，求證2x-f（x）≥g（x）-3．

Answer 1

分析：（1）、將a=-2代入h（x）=f（x）-g（x）中，求得h（x）的解析式，然后求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題中已知條件便可求出b的取值范圍；
（2）根據(jù)題意先求出φ（x）的解析式，然后分別討論當(dāng)-

b

2

≤1，1＜-

b

2

＜2和-

b

2

≥2時(shí)函數(shù)φ（x）的最小值；
（3）將a=-2，b=4代入其中，令h（x）=2lnx+x+

3

x

，求出函數(shù)h（x）的最小值，便可證明2x-f（x）≥g（x）-3．

解答：解：（1）依題意：h（x）=ln x+x²-bx，h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴h′（x）=

1

x

+2x-b≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2∵x＞0，則

1

x

+2x≥2（當(dāng)x═

2

2

時(shí)取等號(hào)）．
∴b的取值范圍為（-∞，2

2

]．

（2）設(shè)t=e^x，則函數(shù)化為y=t²+bt，t∈[1，2]，∵y=（t+

b

2

）²-

b2

4

，
∴①當(dāng)-

b

2

≤1，即-2≤b≤2

2

時(shí)，函數(shù)y在[1，2]上為增函數(shù)，
當(dāng)t=1時(shí)，y_min=b+1．
②當(dāng)1＜-

b

2

＜2，即-4＜b＜-2時(shí)，當(dāng)t=-

b

2

時(shí)，y_min=-

b2

4

．
③當(dāng)-

b

2

≥2，即b≤4時(shí)，函數(shù)y在[1，2]上為減函數(shù)，當(dāng)t=2時(shí)，y_min=-4+2b．
綜上所述，當(dāng)-2≤-

b

2

≤2

2

時(shí)，φ（x）_min=b+1；
當(dāng)-4＜b＜-2時(shí)，φ（x）_min=-

b2

2

；
當(dāng)b≤4時(shí)，φ（x）_min=4+2b．
（3）要證2xlnx≥-x2+4x-3，只要證4≤2lnx+x+

3

x

，
設(shè)h（x）=2lnx+x+

3

x

（x＞0），則h′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（0，1），h′（x）＜0，∴h（x）單調(diào)遞減；
x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴對(duì)一切x∈（0，+∞），2x-f（x）≥g（x）-3恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)函數(shù)的綜合掌握，解題時(shí)注意分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，是各地高考的常考題，屬于中檔題．