Question

某地區(qū)試行中考考試改革，在九年級學年中舉行4次統(tǒng)一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠?qū)W分升入高中繼續(xù)學習，不再參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加4次測試，假設(shè)某學生每次通過測試的概率都是

1

3

，每次測試時間間隔恰當，每次測試通過與否互相獨立．
（Ⅰ）求該學生在前兩次測試中至少有一次通過的概率；
（Ⅱ）假定該生通過其中2次測試，則結(jié)束測試，否則繼續(xù)測試直至判定他能否升入高中繼續(xù)學習時停止，且最多參加完4次測試，記該生參加測試的次數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，則

.

A

表示“該生在前兩次測試中兩次均未通過”，根據(jù)已知，結(jié)合對立事件概率減法公式，可得答案．
（II）由題意可知參加測試次數(shù)X的可能取值為2，3，4，進而求出X的分布列，代入數(shù)學期望公式可得X的數(shù)學期望

解答：解：（Ⅰ）記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，則
P（A）=1-（1-

1

3

）²=

5

9

…（4分）
答：該生在前兩次測試中至少有一次通過的概率為

5

9

．
（Ⅱ）參加測試次數(shù)X的可能取值為2，3，4，
P（X=2）=（

1

3

）²=

1

9

，…（6分）
P（X=3）=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

+（

2

3

）³=

4

9

，…（7分）
P（X=4）=

C

1 3

•

1

3

•（

2

3

）²=

4

9

，…（8分）

X	2	3	4
P	1 9	4 9	4 9

故X的分布列為：…（9分）
E（X）=2×

1

9

+3×

4

9

+4×

4

9

=

10

3

．…（10分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查對立事件的概率，是一個基礎(chǔ)題，這種題目解題的關(guān)鍵是看清題目事件的特點，找出解題的規(guī)律，遇到類似的題目要求能做．