Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=

1

2

x2+

1

2

．
（Ⅰ）設(shè)F（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)F（x）的圖象在x=1處的切線方程：
（Ⅱ）求證：e^f（x）≥g（x）對任意的x∈（0，+∞）恒成立；
（Ⅲ）若a，b，c∈R⁺，且a²+b²+c²=3，求證：

(b+c)2

aa+1

+

(c+a)2

bb+1

+

(a+b)2

cc+1

≤6．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把f（x），g（x）的解析式代入F（x）=f（x）+g（x），求出F（1）的值，對F（x）求導后得到F′（1），然后由直線方程的點斜式得切線方程；
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)G（x）=e^f（x）-g（x），代入f（x）和g（x）的解析式后對G（x）兩次求導，然后結(jié)合G′（1）=0，可得當x∈（0，1）時，G′（1）＜0，當x∈（1，+∞）時，G′（1）＞0，由此可知G（x）_min=G（1）=0，說明G（x）≥0，即e^f（x）≥g（x）對任意的x∈（0，+∞）恒成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知xx≥

1

2

x2+

1

2

，分別取x等于a，b，c后把不等式

(b+c)2

aa+1

+

(c+a)2

bb+1

+

(a+b)2

cc+1

放大為2[

(b+c)2

2a2+b2+c2

+

(c+a)2

a2+2b2+c2

+

(a+b)2

a2+b2+2c2

]，然后利用柯西不等式加以證明．

解答： 解：（Ⅰ）F(x)=f(x)+g(x)=xlnx+

1

2

x2+

1

2

，
F′（x）=1+lnx+x，
則F（1）=1，F(xiàn)′（1）=2，
∴F（x）圖象在x=1處的切線方程為y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0；
（Ⅱ）令G(x)=ef(x)-g(x)=exlnx-

1

2

x2-

1

2

，
則G′（x）=e^xlnx（1+lnx）-x，
∴G″(x)=exlnx(1+lnx)2+exlnx•

1

x

-1=exlnx(1+lnx)2+e(x-1)lnx-1，
∵x-1與lnx同號，
∴（x-1）lnx≥0，
∴e^（x-1）lnx-1≥0
∴G^′′（x）＞0，
∴G′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又G′（1）=0，∴當x∈（0，1）時，G′（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，G′（x）＞0．
∴G（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴G（x）_min=G（1）=0．
∴G（x）≥0，即e^f（x）≥g（x）對任意的x∈（0，+∞）恒成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知xx≥

1

2

x2+

1

2

，
則

(b+c)2

aa+1

+

(c+a)2

bb+1

+

(a+b)2

cc+1

≤

(b+c)2

1 2 a2+ 3 2

+

(c+a)2

1 2 b2+ 3 2

+

(a+b)2

1 2 c2+ 3 2

=2[

(b+c)2

2a2+b2+c2

+

(c+a)2

a2+2b2+c2

+

(a+b)2

a2+b2+2c2

]．
由柯西不等式得(

b2

a2+b2

+

c2

a2+c2

)[(a2+b2)+(a2+c2)]≥(b+c)2，
∴

(b+c)2

2a2+b2+c2

≤

b2

a2+b2

+

c2

a2+c2

，
同理

(c+a)2

a2+2b2+c2

≤

a2

a2+b2

+

c2

b2+c2

，

(a+b)2

a2+b2+2c2

≤

a2

a2+c2

+

b2

b2+c2

．
三個不等式相加得：

(b+c)2

2a2+b2+c2

+

(c+a)2

a2+2b2+c2

+

(a+b)2

a2+b2+2c2

≤3．
2[

(b+c)2

2a2+b2+c2

+

(c+a)2

a2+2b2+c2

+

(a+b)2

a2+b2+2c2

]≤6．
∴

(b+c)2

aa+1

+

(c+a)2

bb+1

+

(a+b)2

cc+1

≤6．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，訓練了利用函數(shù)構(gòu)造法證明不等式，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，對于（Ⅱ）的證明，能夠想到兩次求導是關(guān)鍵，（Ⅲ）的證明借助于（Ⅱ）中的不等式，兩次放縮難度較大，是綜合性較強的題目．