【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線:交拋物線兩點(diǎn),

(1)若的中點(diǎn)為,直線的斜率為,證明:為定值;

(2)求面積的最大值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與拋物線方程可得:x1+x2=4k,即可求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為T(2k,1),問題得證。

(2)由弦長公式得:,再求得點(diǎn)M到直線距離為,由(1)可得,即可得,記:,令,則,,利用導(dǎo)數(shù)即可求得,問題得解。

(1)證明:聯(lián)立,消去y得,x2-4kx-4b=0,

△=16k2+16b>0,即k2+b>0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理得x1+x2=4k,x1x2=-4b,

因?yàn)閨AF|+|BF|=4,

由拋物線定義得y1+1+y2+1=4,得y1+y2=2,

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為T(2k,1),

所以

所以

(2)由(1)得|x1-x2|2=(x1+x22-4x1x2=16(k2+b),

,

設(shè)點(diǎn)M到直線距離為d,

,

而由(1)知,y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b=4k2+2b=2,

即2k2+b=1,即b=1-2k2,

由△=16k2+16b>0,得0<k2<1,

所以

,

記:

令t=k2,0<t<1,則

f(t)=(1+t)2(1-t)=1+t-t2-t3,0<t<1,

f'(t)=1-2t-3t2=(t+1)(-3t+1),

當(dāng)時,f'(t)>0,f(t)為增函數(shù);

當(dāng)時,f'(t)<0,f(t)為減函數(shù);

當(dāng),

所以,S△ABM的最大值為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,平面四邊形ABCD中,E、FAD、BD中點(diǎn),ABADCD=2, BD=2 ,∠BDC=90°,將△ABD沿對角線BD折起至△,使平面⊥平面BCD,則四面體中,下列結(jié)論不正確是 ( )

A. EF∥平面

B. 異面直線CD所成的角為90°

C. 異面直線EF所成的角為60°

D. 直線與平面BCD所成的角為30°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的倍,點(diǎn)在橢圓.

1)求橢圓的方程;

2)若過橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交所得弦長為,求直線的斜率;

3)過點(diǎn)的任意直線與橢圓交于、兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)、到直線的距離分別為.,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對應(yīng)關(guān)系如表:

AQI指數(shù)值

0~50

51~100

101~150

151~200

201~300

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

如圖是某市121-20AQI指數(shù)變化趨勢:

下列敘述正確的是(

A.20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B.20天中的中度污染及以上的天數(shù)占

C.該市12月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好

D.總體來說,該市12月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具,是由七塊板組成的.而這七塊板可拼成許多圖形,例如:三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動物、建筑物等,清陸以湉《冷廬雜識》寫道:近又有七巧圖,其式五,其數(shù)七,其變化之式多至千余.在18世紀(jì),七巧板流傳到了國外,至今英國劍橋大學(xué)的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》.若用七巧板拼成一只雄雞,在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列四個命題:

①如果平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行,那么

②過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直;

③如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線與這個平面垂直;

④若兩個相交平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.

其中真命題的序號為______

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)代研究表明,體脂率(體脂百分?jǐn)?shù))是衡量人體體重與健康程度的一個標(biāo)準(zhǔn).為分析體脂率對人體總膽固醇的影響,從女性志愿者中隨機(jī)抽取12名志愿者測定其體脂率值及總膽固醇指標(biāo)值(單位:mmol/L),得到的數(shù)據(jù)如表所示:

(1)利用表中的數(shù)據(jù),是否可用線性回歸模型擬合的關(guān)系?請用相關(guān)系數(shù)加以說明.(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)

(2)求出的線性回歸方程,并預(yù)測總膽固醇指標(biāo)值為9.5時,對應(yīng)的體脂率為多少?(上述數(shù)據(jù)均要精確到0.1)

(3)醫(yī)學(xué)研究表明,人體總膽固醇指標(biāo)值服從正態(tài)分布,若人體總膽固醇指標(biāo)值在區(qū)間之外,說明人體總膽固醇異常,該志愿者需作進(jìn)一步醫(yī)學(xué)觀察.現(xiàn)用樣本的作為的估計(jì)值,用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,從這12名女志愿者中隨機(jī)抽4人,記需作進(jìn)一步醫(yī)學(xué)觀察的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:參考公式:相關(guān)系數(shù),

參考數(shù)據(jù):,,,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺從購買該平臺某課程的客戶中,隨機(jī)抽取了100位客戶的數(shù)據(jù),并將這100個數(shù)據(jù)按學(xué)時數(shù),客戶性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì),整理得到如表:

學(xué)時數(shù)

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

(1)根據(jù)上表估計(jì)男性客戶購買該課程學(xué)時數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位);

(2)從這100位客戶中,對購買該課程學(xué)時數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人,再從這7人中隨機(jī)抽取2人,求這2人購買的學(xué)時數(shù)都不低于15的概率.

(3)將購買該課程達(dá)到25學(xué)時及以上者視為“十分愛好該課程者”,25學(xué)時以下者視,為“非十分愛好該課程者”.請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān)?

非十分愛好該課程者

十分愛好該課程者

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

100

附:,

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,,,的中點(diǎn).

(1)求和平面所成的角的大。

(2)求二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案