Question

16．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，點(diǎn)M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證：
（1）CM∥平面PAD；
（2）平面PAB⊥平面PAD．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，C為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
（1）要證CM∥面PAD，只需求出向量$\overrightarrow{CM}$與面PAD內(nèi)的向量$\overrightarrow{DP}$、$\overrightarrow{DA}$共面即可．
（2）過B作BE⊥PA，E為垂足．要證面PAB⊥面PAD，只需證明面PAB內(nèi)的向量$\overrightarrow{BE}$垂直面PAD內(nèi)的直線PA、DA即可．

解答 解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，C為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC為PB與平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．
∵|PC|=2，∴|BC|=2$\sqrt{3}$，|PB|=4．
得D（1，0，0）、B（0，2$\sqrt{3}$，0）、
A（4，2$\sqrt{3}$，0）、P（0，0，2）．
∵PB=4PM，∴|MB|=3|PM|，
∴|PM|=1，M（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{CM}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
$\overrightarrow{DP}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{DA}$=（3，2$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)$\overrightarrow{CM}$=x$\overrightarrow{DP}$+y$\overrightarrow{DA}$（x、y∈R），
則（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）=x（-1，0，2）+y（3，2$\sqrt{3}$，0）⇒x=$\frac{3}{4}$且y=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{CM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{DP}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DA}$．
∴$\overrightarrow{CM}$、$\overrightarrow{DP}$、$\overrightarrow{DA}$共面．
又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．
（2）證明：過B作BE⊥PA，E為垂足．
∵|PB|=|AB|=4，∴E為PA的中點(diǎn)．
∴E（2，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{BE}$=（2，-$\sqrt{3}$，1）．
又∵$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{DA}$=（2，-$\sqrt{3}$，1）•（3，2$\sqrt{3}$，0）=0，
∴$\overrightarrow{BE}$⊥$\overrightarrow{DA}$，即BE⊥DA．
而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．
∵BE?面PAB，∴面PAB⊥面PAD．

點(diǎn)評 本題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及用向量法證明平行關(guān)系，同時(shí)考查向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法．突破點(diǎn)在于求出相關(guān)的向量所對應(yīng)的坐標(biāo)．