【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)兩個極值點分別為,證明:.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點等價于方程在有兩個不同根,即函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點,討論函數(shù)單調(diào)性和極值根據(jù)圖象即可求的取值范圍;(2)作差得,,即.原不等式等價于,,則,只需證明不等式成立即可.
試題解析:(1)依題意,函數(shù)的定義域為,所以方程在有兩個不同根.
即,方程在有兩個不同根.
轉(zhuǎn)化為,函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點.
又,即時,,時,,
所以在上單調(diào)增,在上單調(diào)減,從而.
又有且只有一個零點是1,且在時,,在時,,
所以的草圖如下,
可見,要想函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點,只需.
(2)由(1)可知分別是方程的兩個根,即,,
設(shè),作差得,,即.
原不等式等價于
令,則,,
設(shè),,,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∴,
即不等式成立,
故所證不等式成立.
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【題目】下列說法中正確的是
A. 在正三棱錐中,斜高大于側(cè)棱
B. 有一條側(cè)棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
C. 底面是正方形的棱錐是正四棱錐
D. 有一個面是多邊形,其余各面均為三角形的幾何體是棱錐
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x的定義域是[0,3],設(shè)g(x)=f(2x)-f(x+2).
(1)求g(x)的解析式及定義域;
(2)求函數(shù)g(x)的最大值和最小值.
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【題目】已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實數(shù),的值;
(2)判斷的單調(diào)性,并用函數(shù)的單調(diào)性定義證明你的結(jié)論.
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【題目】已知橢圓的離心率,過點和的直線與原點的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點,過作直線交橢圓于兩點,求面積的最大值.
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【題目】若有一個企業(yè),70%的員工年收入1萬元,25%的員工年收入3萬元,5%的員工年收入11萬元,則該企業(yè)員工的年收入的平均數(shù)是________萬元,中位數(shù)是________萬元,眾數(shù)是________萬元.
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【題目】若a,b∈R,則“a>0,b>0”是“a+b>0”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
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【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線過點,傾斜角,再以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線分別交于、兩點,求的值.
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【題目】在直三棱柱中,底面是直角三角形,,為側(cè)棱的中點.
(1)求異面直線、所成角的余弦值;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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