Question

已知函數(shù)f（x）=2sin

1

2

x+2

3

cos

1

2

x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及值域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式可得f(x)=4sin(

1

2

x+

π

3

)．即可得到函數(shù)f（x）最小正周期T=

2π

ω

=4π，再利用正弦函數(shù)的值域即可得出函數(shù)f（x）的值域．
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin

1

2

x+2

3

cos

1

2

x=4(

1

2

sin

1

2

x+

3

2

cos

1

2

x)．
∴f(x)=4sin(

1

2

x+

π

3

)．
∴函數(shù)f（x）最小正周期T=

2π

ω

=4π，
∵-1≤sin(

1

2

x+

π

3

)≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-4，4]
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[4kπ-

5π

3

，4kπ+

π

3

]，k∈Z．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和差的正弦公式，考查了計算能力，屬于中檔題．