Question

在△ABC中，已知sin

B+C

2

=sinA•cos

B+C

2

，給出以下四個論斷：
①

tanC

tanB

=1
②0＜sinB+sinC≤

2

③sin²B+sin²C=1
④cos²A+cos²B=sin²C．
其中正確的是

 

（填寫序號）．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式化簡整理題設(shè)等式求得cos

B+C

2

=

2

2

，進而求得B+C=90°
進而求得①

tanC

tanB

=tanC•tanC等式不一定成立，排除；②利用兩角和公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其范圍符合，②正確；
③sin²B+sin²C=sin²B+cos²B=1，③正確；④根據(jù)A=90°可知cosA=1，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知cos²B=sin²C=1，進而進而可知二者相等，④正確．

解答： 解：①由sin

B+C

2

=sinA•cos

B+C

2

，
得sin

B+C

2

=sin（B+C）•cos

B+C

2

，
即sin

B+C

2

=2sin

B+C

2

•cos²

B+C

2

．
∴cos

B+C

2

=

2

2

，
∴B+C=90°．
①

tanC

tanB

=

tanC

tan(90°-C)

=

sinC cosC

sin(90°-C) cos(90°-C)

=tanC•tanC不一定等于1，∴①不正確．
②sinB+sinC=sinB+cosB=

2

sin（B+45°）
∵45°＜B+45°＜135°，∴

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinB+sinC≤

2

，∴②正確．
③sin²B+sin²C=sin²B+cos²B=1一定成立，故③正確．
④cos²A=cos²90°=0，cos²A+cos²B=cos²B=sin²C，所以cos²A+cos²B=sin²C．∴④正確．
綜上知③④正確，
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值．考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力．