Question

已知α、β滿足0＜α＜

π

2

＜β＜π，cos（β-

π

4

）=

1

3

，sin（α+β）=

4

5

．
（1）求cos（α+

π

4

）的值；
（2）求sin2β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用α+

π

4

=(α+β)+(

π

4

-β)，根據(jù)已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sin(

π

4

-β)，cos（α+β）．再利用兩角和的余弦公式即可得出；
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和（1）先求出sin(α+

π

4

)，利用β-

π

4

=(α+β)-(α+

π

4

)．可得cos(β-

π

4

)，再利用倍角公式可得sin2β=cos(

π

2

-2β)=cos2(β-

π

4

)=2cos2(β-

π

4

)-1．即可得出．

解答： 解：（1）∵α、β滿足0＜α＜

π

2

＜β＜π，∴-

3π

4

＜

π

4

-β＜-

π

4

，

π

2

＜α+β＜

3π

2

．
又∵cos（β-

π

4

）=

1

3

=cos(

π

4

-β)，sin（α+β）=

4

5

．
∴-

π

2

＜

π

4

-β＜-

π

4

，

π

2

＜α+β＜π．
∴sin(

π

4

-β)=-

1-( 1 3 )2

=-

2 2

3

，cos(α+β)=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

．
∴cos(α+

π

4

)=cos[(α+β)+(

π

4

-β)]=cos(α+β)cos(

π

4

-β)-sin(α+β)sin(

π

4

-β)=-

3

5

×

1

3

-

4

5

×(-

2 2

3

)=

8 2 -3

15

．
（2）∵

π

4

＜α+

π

4

＜

3π

4

，cos(α+

π

4

)＞0，∴

π

4

＜α+

π

4

＜

π

2

，∴sin(α+

π

4

)=

1-cos2(α+ π 4 )

=

4+6 2

15

．
∴sin2β=cos(

π

2

-2β)=cos2(β-

π

4

)=2cos2(β-

π

4

)-1．
∵β-

π

4

=(α+β)-(α+

π

4

)．
∴cos(β-

π

4

)=cos[(α+β)-(α+

π

4

)]=cos(α+β)cos(α+

π

4

)+sin(α+β)sin(α+

π

4

)
=-

3

5

×

8 2 -3

15

+

4

5

×

4+6 2

15

=

1

3

．
∴sin2β=2×(

1

3

)2-1=-

7

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和的余弦公式、倍角公式，考查了角的分拆，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．