Question

5．已知函數(shù)f（x）=|2x|，現(xiàn)將y=f（x）的圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到函數(shù)h（x）的圖象．
（1）求函數(shù)h（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)g（x）=kx²的圖象在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上至少有一個交點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象的平移即可得到函數(shù)的解析式，
（2）方法一，采取分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在x∈[1，3]上有解或者$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在$x∈[{\frac{1}{2}，1}）$上有解，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出k的范圍
方法二，采用根的分布，原題等價于kx²-2（x-1）-1=0在x∈[1，3]上有解或者kx²-2（1-x）-1=0在$x∈[{\frac{1}{2}，1}]$上有解，分別根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出k的范圍．

解答 解：（1）由圖象的平移，h（x）=2|x-1|+1
（2）解：函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)g（x）=kx²的圖象在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上至少有一個交點，等價于h（x）-g（x）=0在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上有解，
即2|x-1|+1-kx²=0在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上有解，
解法一：用分離參數(shù)處理：kx²=2|x-1|+1在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上有解，$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上有解，
等價于$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在x∈[1，3]上有解或者$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在$x∈[{\frac{1}{2}，1}）$上有解，
因為$k=\frac{{2（{x-1}）+1}}{x^2}=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}=-{（{\frac{1}{x}-1}）^2}+1，因為\frac{1}{x}∈[{\frac{1}{3}，1}]，所以k∈[{\frac{5}{9}，1}]$$k=\frac{{2（{1-x}）+1}}{x^2}=\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}=3{（{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}）^2}-\frac{1}{3}，因為\frac{1}{x}∈（{1，2}]所以k∈[{1，8}]$
綜上，$k∈[{\frac{5}{9}，8}]$．
解法二：用實根分布：
原題等價于kx²-2（x-1）-1=0在x∈[1，3]上有解或者kx²-2（1-x）-1=0在$x∈[{\frac{1}{2}，1}]$上有解，
（1）kx²-2（x-1）-1=0在x∈[1，3]上有解
令g（x）=kx²-2（x-1）-1，k=0時顯然無解．
當(dāng)k＜0時，$g（1）•g（3）≤0⇒\frac{5}{9}≤k≤1$（舍）
當(dāng)k＞0，$g（1）•g（3）≤0⇒\frac{5}{9}≤k≤1$或者$\left\{{\begin{array}{l}{1≤\frac{1}{k}≤3}\\{△=4-4k≥0⇒k=1}\\{g（1）≥0}\\{g（3）≥0}\end{array}}\right.⇒k=1$
所以$\frac{5}{9}≤k≤1$
（2）kx²-2（1-x）-1=0在$x∈[{\frac{1}{2}，1}]$上有解：
令h（x）=kx²+2x-3，k=0時顯然無解．
當(dāng)k＞0時，$h（1）•h（{\frac{1}{2}}）≤0⇒1≤k≤8$，所以1≤k≤8
當(dāng)k＜0時，$h（1）•h（{\frac{1}{2}}）≤0⇒1≤k≤8$（舍）或者$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤-\frac{1}{k}≤1}\\{△=4+12k≥0⇒k∈∅}\\{h（1）≤0}\\{h（{\frac{1}{2}}）≤0}\end{array}}\right.$
所以1≤k≤8
綜上，$k∈[{\frac{5}{9}，8}]$．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法和根的分布問題，關(guān)鍵是分類討論，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題