Question

已知實數(shù)x，y滿足不等式

2x-y≥0 x+y-4≥0 x≤3

，則

2x3+y3

x2y

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)目標(biāo)函數(shù)為z=

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2，通過換元法設(shè)t=

y

x

，則利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．

解答： 解：由條件知可行域是由點（3，6），（3，1），（

4

3

，

8

3

），為頂點組成的三角形及其內(nèi)部，
設(shè)z=

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2，其中(

y

x

)min=

1

3

，(

y

x

)max=2，
設(shè)t=

y

x

，則z=f（t）=t2+

2

t

，∴f'（t）=2t-

2

t2

=

2(t3-1)

t2

，其中t∈[

1

3

，2]，
當(dāng)

1

3

≤t＜1時，f'（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增，當(dāng)1＜t≤2時，f'（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減，∴當(dāng)t=1時，f（t）_min=f（1）=3．
又f(

1

3

)=

55

9

，f(2)=5，故f（t） max=

55

9

，即所求取值范圍是[3，

55

9

]．
故答案為：[3，

55

9

]．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，注意本題不能直接將三點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求其取值范圍，否則容易出錯．