Question

下列說法：
①設(shè)α，β都是銳角，則必有sin（α+β）＜sinα+sinβ
②在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，則△ABC為銳角三角形．
③在△ABC中，若A＜B，則cos2A＜cos2B；
則其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,解三角形

分析：由兩角和的正弦公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；先應(yīng)用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊，再運用余弦定理即可判斷三角形的形狀，從而判斷②；根據(jù)邊角關(guān)系得到a＜b，再由正弦定理得到sinA＜sinB，再通過變形和二倍角公式，即可得到cos2A＞cos2B，從而判斷③．

解答： 解：①根據(jù)sin（α+β）=sinαcosβ+osαsinβ，由于α，β都是銳角，則cosα，cosβ∈（0，1），故sin（α+β）＜sinα+sinβ，故①正確；
②在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，由正弦定理得，a²+b²＜c²，再由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0
即C為鈍角，△ABC為鈍角三角形，故②錯；
③在△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理得，sinA＜sinB，即有sin²A＜sin²B，即1-2sin²A＞1-2sin²B，即cos2A＞cos2B，故③錯．
故答案為：①

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查正弦、余弦定理和兩角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式，是一道基礎(chǔ)題．