Question

f（x）是關于x的一次函數(shù)，且f（2），f（4），f（8）成等比數(shù)列，f（15）=15，已知S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），n為正整數(shù)，求g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

（其中n為正整數(shù)）的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件求出f（x）=x，S_n=

n(n+1)

2

，從而得到g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

=

2

n2-31n+300

，由此能求出當n=15或n=16時，g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

（其中n為正整數(shù)）取最大值g（15）=g（16）=

1

30

．

解答： 解：∵f（x）是關于x的一次函數(shù)，∴設f（x）=kx+b，k≠0，
∵f（2），f（4），f（8）成等比數(shù)列，f（15）=15，
∴

(4k+b)2=(2k+b)(8k+b) 15k+b=15

，
解得k=1，b=0，
∴f（x）=x，
∴S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

=

n

(n-32)× n(n+1) 2 +166n

=

2

n2-31n+300

，
∴當n=15或n=16時，
g（n）=

n

(n-32)Sn+166n

（其中n為正整數(shù)）取最大值g（15）=g（16）=

1

30

．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的最大值的求法，是中檔題，解題時要注意數(shù)列的函數(shù)特性的合理運用．