Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x³-ax+1．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）在區(qū)間[-1，2]內(nèi)至少存在一個實數(shù)x，使得f（x）≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，求出切點，應(yīng)用點斜式方程，并化為斜截式方程；
（Ⅱ）由已知得，即存在0＜x≤2，使得，a≥

1

2

x2+

1

x

成立；或存在-1≤x＜0，使得a≤

1

2

x2+

1

x

成立．
令g（x）=

1

2

x2+

1

x

（-1≤x≤2，且x≠0），求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，求出g（x）在（0，2]上 的最小值，在[-1，0）上的最大值，則只要a不小于最小值，或a不大于最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵當a=1時，f（x）=

1

2

x³-x+1，f′（x）=

3

2

x²-1，f（2）=3，
∴曲線y=f（x）在點（2，3）處的切線斜率為k=f′（2）=6-1=5，
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為：y-3=5（x-2）即y=5x-7．
（Ⅱ）由已知得，在區(qū)間[-1，2]內(nèi)至少存在一個實數(shù)x，使得ax≥

1

2

x³+1成立．
即存在0＜x≤2，使得，a≥

1

2

x2+

1

x

成立；或存在-1≤x＜0，使得a≤

1

2

x2+

1

x

成立．
令g（x）=

1

2

x2+

1

x

（-1≤x≤2，且x≠0），則g′（x）=x-

1

x2

，
則g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，在[-1，0），（0，1]上單調(diào)遞減，
∴g（x）在（0，2]上 的最小值為g（1），在[-1，0）上的最大值為g（-1）．
∴0＜x≤2時，a≥g（x）_min=g（1）=

3

2

，
-1≤x＜0時，a≤g（x）_max=g（-1）=-

1

2

．
∴a≥

3

2

或a≤-

1

2

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求極值、最值等，同時考查存在性問題的解決方法，屬于中檔題．