Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+1|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜-1；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f（x）在x∈[-2，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,絕對(duì)值不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ根據(jù)函數(shù)f（x）=

4 ，x＜-1 2-2x ，-1≤x≤3 -4  ，x＞3

，故由不等式可得 x＞3 或

2-2x＜-1 -1≤x≤3

，從而求得不等式的解集．
（Ⅱ）由題意可得當(dāng)x∈[-2，2]上時(shí)，函數(shù)g（x）應(yīng)在函數(shù)f（x）的圖象的下方，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合求得-4≤a≤0，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+1|=

4 ，x＜-1 2-2x ，-1≤x≤3 -4  ，x＞3

，
故由不等式f（x）＜-1可得 x＞3 或 

2-2x＜-1 -1≤x≤3

．
解得 x＞

3

2

．
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f（x）在
x∈[-2，2]上恒成立，
∴|x+a|-4≤|x-3|-|x+1|在x∈[-2，2]上恒成立，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象，如圖所示：
故當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，若0≤-a≤4時(shí)，
則函數(shù)g（x）在函數(shù)f（x）的圖象的下方，g（x）≤f（x）在x∈[-2，2]上恒成立，
求得-4≤a≤0，故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-4，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶由絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．