Question

16．f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）當(dāng)$t=4，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$時，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）的最小值是-2，求a的值；
（2）當(dāng)$0＜a＜1，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將t=4代入函數(shù)解析式，對F（x）化簡，得$f（x）={log_a}4（x+\frac{1}{x}+2）$，利用對勾函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性求得其最值，需要對a進(jìn)行討論；
（2）將不等式轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為x≤（2x+t-2）²，$\sqrt{x}-2x+2≤t$，轉(zhuǎn)化為最值來處理即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵當(dāng)t=4，$x∈[\frac{1}{4}，2]$時，
F（x）=g（x）-f（x）=$2{log_a}（2x+2）-{log_a}x={log_a}\frac{{4{{（x+1）}^2}}}{x}$=${log_a}4（x+\frac{1}{x}+2）$，
又h（x）=$4（x+\frac{1}{x}+2）$在$[\frac{1}{4}，1]$上為減函數(shù)，在[1，2]上為增函數(shù)，且$h（{\frac{1}{4}}）＞h（2）$，
∴$h{（x）_{min}}=h（1）=16，h{（x）_{max}}=h（{\frac{1}{4}}）=25$
∴當(dāng)a＞1時，F(xiàn)（x）_min=log_a16，由log_a16=-2，解得$a=\frac{1}{4}$（舍去）；
當(dāng)0＜a＜1時，F(xiàn)（x）_min=log_a25，由log_a25=-2解得$a=\frac{1}{5}$，
所以$a=\frac{1}{5}$
（2）f（x）≥g（x），即log_ax≥2log_a（2x+t-2），
∴l(xiāng)og_ax≥log_a（2x+t-2）²，
∵$0＜a＜1，x∈[{\frac{1}{4}，2}]$，
∴x≤（2x+t-2）²，
∴$\sqrt{x}≤2x+t-2$，
∴$\sqrt{x}-2x+2≤t$，
∴$\sqrt{x}-2x+2≤t$，依題意有${（\sqrt{x}-2x+2）_{max}}≤t$
而函數(shù)$y=\sqrt{x}-2x+2=-2{（\sqrt{x}-\frac{1}{4}）^2}+\frac{17}{8}$
因為$x∈[{\frac{1}{4}，2}]，\sqrt{x}∈[{\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]$，y_max=2，
所以t≥2．

點評 本題考查的知識點是分類討論的思想，恒成立問題的轉(zhuǎn)化．熟練掌握對數(shù)函數(shù)，對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．