Question

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

2

，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．直線l：y=kx與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)l的斜率k=1，P為橢圓的右頂點(diǎn)．求△ABP的面積．
（Ⅲ）若直線AP，BP的斜率存在且分別為k₁，k₂．求k₁k₂．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的定義容易求得a，c，然后結(jié)合a²=b²+c²求出b，焦點(diǎn)在x軸上，所以方程可求；
（Ⅱ）S_△ABP=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

OB•|yA|+

1

2

OB|yB|=

1

2

a|yA-yB|，然后將直線方程代入橢圓方程，消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，其兩個(gè)根就是y_A，y_B，容易求得|y_A-y_B|，則面積可求；
（Ⅲ）將已知與所求坐標(biāo)化，然后化簡(jiǎn)．注意到橢圓的對(duì)稱性、直線y=kx過(guò)原點(diǎn)和橢圓相交，則A，B兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，同時(shí)將P點(diǎn)坐標(biāo)給出來(lái)，再將k₁，k₂用A，B，P坐標(biāo)表示，然后將k₁k₂表示出來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可，注意消元．

解答： 解：（Ⅰ）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

2

，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），
∴a=

2

，c=1，且焦點(diǎn)在x軸上，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由已知直線l方程為y=x，
代入

x2

2

+y2=1后化簡(jiǎn)得
y=

6

3

或-

6

3

，
∴S_△ABP=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

OB•|yA|+

1

2

OB|yB|=

1

2

a|yA-yB|
=

1

2

×

2

×

2 6

3

=

2 3

3

；
（Ⅲ）由橢圓的對(duì)稱性且y=kx過(guò)原點(diǎn)，不妨設(shè)A（x，y），B（-x，-y），P（m，n），
∴k₁k₂=

n-y

m-x

•

n+y

m+x

=

n2-y2

m2-x2

①，
又

x2

2

+y2=1，

m2

2

+n2=1，
∴①=

(1- m2 2 )-(1- x2 2 )

m2-x2

=

- 1 2 (m2-x2)

m2-x2

=-

1

2

．
∴k1k2=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：第（1）（2）問(wèn)屬常規(guī)題型，較為簡(jiǎn)單；第三問(wèn)先把k₁，k₂坐標(biāo)化，充分注意到A，B兩點(diǎn)的對(duì)稱性消元，再利用橢圓方程消元，最后將k₁k₂化簡(jiǎn)求值．