Question

設(shè)10，a₂，…，a_n是各項(xiàng)均不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d≠0．
（Ⅰ）若d=-

1

3

，且該數(shù)列前n項(xiàng)和S_n最大，求n的值；
（Ⅱ）若n=4，且將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，求d的值；
（Ⅲ）若該數(shù)列中有一項(xiàng)是10+

10

，則數(shù)列10，a₂，…，a_n中是否存在不同三項(xiàng)（按原來的順序）為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）求出數(shù)列的通項(xiàng)，若S_n取最大，則只需

an≥0 an+1≤0

，即可求n的值；
（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，該數(shù)列的前4項(xiàng)可設(shè)為10、10+d、10+2d、10+3d，分類討論，即可求d的值；
（Ⅲ）設(shè)ak=10+

10

，即10+（k-1）d=10+

10

，可得（k-1）d=

10

，再利用反證法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a1=10，d=-

1

3

，
∴an=10+(n-1)•(-

1

3

)=-

1

3

n+

31

3

．
若S_n取最大，則只需

an≥0 an+1≤0

，即

- 1 3 n+ 31 3 ≥0 - 1 3 (n+1)+ 31 3 ≤0

，解得30≤n≤31．
∵n∈N^*，∴當(dāng)S_n取最大時(shí)n的值分別是30或31．
（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，該數(shù)列的前4項(xiàng)可設(shè)為10、10+d、10+2d、10+3d．
若刪去第一項(xiàng)10，則由題意得（10+2d）²=（10+d）（10+3d），解得d=0，不符合題意．（5分）
若刪去第二項(xiàng)10+d，則由題意得10（10+3d）=（10+2d）²解得d=-

5

2

，符合題意．（6分）
若刪去第三項(xiàng)10+2d，則由題意得10（10+3d）=（10+d）²解得d=10，符合題意．（7分）
若刪去第四項(xiàng)10+3d，則由題意得10（10+2d）=（10+d）²解得d=0，不符合題意．（8分）
綜上所述，d的值為-

5

2

或10．…（9分）
（III）設(shè)ak=10+

10

，即10+（k-1）d=10+

10

，
∴（k-1）d=

10

，
∵d≠0，∴d＞0，k≥2（k≤n），
設(shè)該數(shù)列存在不同的三項(xiàng)a_p，a_q，a_r（p＜q＜r），成等比數(shù)列，則a_q²=a_pa_r，
即[10+（q-1）d]²=[10+（p-1）d][10+（r-1）d]，
∵（k-1）d=

10

，
∴

10

（k-1）（2q-p-r）=pr-p-r+2q-q²=0，
∴p+r=2q，
將r=2q-p代入pr-p-r+2q-q²=0，得p=q，這與p＜q矛盾，
∴該數(shù)列不存在不同的三項(xiàng)為等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．