Question

已知f（x）、g（x）是兩個(gè)實(shí)系數(shù)首項(xiàng)系數(shù)為1的三次多項(xiàng)式，方程f（x）=0，g（x）=0，f（x）=g（x）共有八個(gè)不同的實(shí)根．證明：這八個(gè)根中最大和最小的不能都是f（x）=0的根．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：反證法

分析：利用反證法假設(shè)這八個(gè)根中最大和最小的都是f（x）=0的根，進(jìn)而推出矛盾．

解答： 證明：∵f（x）、g（x）是兩個(gè)實(shí)系數(shù)首項(xiàng)系數(shù)為1的三次多項(xiàng)式
∴f（x）-g（x）不超過(guò)二次
又方程f（x）=0，g（x）=0，f（x）=g（x）共有八個(gè)不同的實(shí)根
∴每個(gè)根都是單根，f（x）=g（x）為二次方程，有兩個(gè)單根
設(shè)a，b分別為八個(gè)根中最大和最小的根，則
f（a）=0，f（b）=0
∵g（x）=0有三個(gè)單根，且全部在區(qū)間（a，b）上
∴g（a）•g（b）＜0
又f（x）=g（x）有兩個(gè)單根，且全部在區(qū)間（a，b）上
∴[f（a）-g（a）]•[f（b）-g（b）]
=-g（a）•[-g（b）]
=g（a）•g（b）＞0
矛盾，所以假設(shè)不成立．
故這八個(gè)根中最大和最小的不能都是f（x）=0的根

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了反證法以及多項(xiàng)式與方程的根的關(guān)系，屬于難題．