Question

設a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=4^x+|2^x-a|（x∈R）．
（1）求證：函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）當a≤0時，解關于x的方程f（x）=a²；
（3）當a＞0時，求函數(shù)y=f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

考點：指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，利用反證法證明
（2）討論a的范圍，解方程即可
（3）利用換元將函數(shù)變?yōu)槎�次函�?shù)，進而利用二次函數(shù)的單調性求值域

解答： 解：（1）證明：假設f（x）是奇函數(shù)，
 則對于一切x∈R，有f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=0，
又f（0）=4⁰+|2⁰-a|≥1，
矛盾，所以假設不成立，
故f（x）不是奇函數(shù)．
（2）∵2^x＞0，4^x＞0，
∴當a≤0時，f（x）=4^x+2^x-a，
由f（x）=a²，得4^x+2^x-a=a²，
即4^x+2^x-a（a+1）=0，
解得2^x=a（舍去）或2^x=-（a+1）；
∴當a+1≥0時，即-1≤a≤0時，原方程無解；
當a+1＜0，即a＜-1時，原方程的解為x=log₂[-（a+1）]．
（3）令t=2^x，則t＞0，原函數(shù)變成y=t²+|t-a|
∵a＞0
∴y=

t2-t+a，0＜t≤a t2+t-a， t＞a

，
對于0＜t≤a，有y=(t-

1

2

)2+a-

1

4

，
當0＜a＜

1

2

時，y是關于t的減函數(shù)，y的取值范圍[a²，a）；
當a≥

1

2

時，y_min=a-

1

4

，
 

1

2

≤a＜1時，y的取值范圍是[a-

1

4

，a），
 a≥1時，y的取值范圍是[a-

1

4

，a²）；
對于t＞a，有y=t²+t-a=（t+

1

2

）²-a-

1

4

是關t的增函數(shù)，其取值范圍（a²，+∞）．
綜上可知，
當0＜a＜

1

2

時，函數(shù)y=f（x）的值域是[a²，+∞）；
當a≥

1

2

時，函數(shù)y=f（x）的值域是[a-

1

4

，+∞）．

點評：本題主要考察了函數(shù)的奇偶性以及復合函數(shù)的相關性質，綜合性較強，屬于難題．