Question

如圖，圓O：x²+y²=4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，C．
（1）求與直線AC垂直的圓的切線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M是圓上任意一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），直線CM交x軸于點(diǎn)D，直線BM交直線AC于點(diǎn)N，
①若D點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0），求弦CM的長(zhǎng)；
②求證：2k_ND-k_MB為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先求直線AC的方程，設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)線距離等于半徑，即可求與直線AC垂直的圓的切線方程；
（2）①求出CM的方程，圓心到直線CM的距離，即可求弦CM的長(zhǎng)；
②確定N，D的坐標(biāo)，表示出2k_ND-k_MB，即可證明2k_ND-k_MB為定值．

解答： 解：（1）由題意，A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴直線AC：

x

-2

+

y

2

=1，即x-y+2=0，…（2分）
設(shè)l：x+y+b=0，∴

|b|

12+12

=2，則b=±2

2

，
∴l(xiāng)：x+y±2

2

=0； …（5分）
（2）①CM：x+

3

y-2

3

=0，圓心到直線CM的距離d=

2 3

12+( 3 )2

=

3

，
∴弦CM的長(zhǎng)為2

4-3

=2   …（9分）
②設(shè)M（x₀，y₀），則x0≠±2，x0≠0，

x

2 0

+

y

2 0

=4，直線lCM：y=

y0-2

x0

x+2，
則D(

2x0

2-y0

，0)，kMB=

y0

x0-2

，直線lBM：y=

y0

x0-2

(x-2)，
又l_AC：y=x+2AC與BM交點(diǎn)N(

4-2x0-2y0

x0-y0-2

，

-4y0

x0-y0-2

)，kND=

4y0 x0-y0-2

2x0 2-y0 - 4-2x0-2y0 x0-y0-2

=

4y0-2 y 2 0

x 2 0 -2x0y0+4y0-4- y 2 0

將

x

2 0

=4-

y

2 0

，代入得kND=

y0-2

x0+y0-2

，…（13分）
所以2kND-kMB=

2(y0-2)

x0+y0-2

-

y0

x0-2

=

x0y0-2y0-4x0+8- y 2 0

x 2 0 -4x0+x0y0-2y0+4

，
得2kND-kMB=

x0y0-2y0-4x0+8- y 2 0

4- y 2 0 -4x0+x0y0-2y0+4

=

x0y0-2y0-4x0+8- y 2 0

8- y 2 0 -4x0+x0y0-2y0

=1為定值．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．