Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，求函數(shù)F（x）=f（x）+f（x-

π

3

）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，再往上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[m，10π]上有20個(gè)零點(diǎn)：a₁，a₂，a₃，…，a₂₀，求實(shí)數(shù)m的取值范圍并求a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）當(dāng)ω=1時(shí)，函數(shù)F（x）=2

3

sin（x-

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的遞增區(qū)間．
（II）令g（x）=0，可得 sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，求得x=kπ+

5π

12

，或 x=kπ+

3π

4

，k∈z．由題意可得區(qū)間[m，10π]恰好包含函數(shù)g（x）的10個(gè)周期，可得m∈（-

π

4

，

5π

12

]，a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

5π

12

）]，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（I）當(dāng)ω=1時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）+f（x-

π

3

）=2sinx+2sin（x-

π

3

）=3sinx-

3

cosx=2

3

sin（x-

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，故函數(shù)的遞增區(qū)間為 [2kπ-

π

3

，2kπ+

2

3

π]，k∈Z．
（II）由題意可得 g（x）=2sin2（x+

π

6

）+1=2sin（2x+

π

3

）+1，令g（x）=0，可得 sin（2x+

π

3

）=-

1

2

，
2x+

π

3

=2kπ+

7π

6

，或2x+

π

3

=2kπ+

11π

6

，即 x=kπ+

5π

12

，或 x=kπ+

3π

4

，k∈z．
若函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[m，10π]上有20個(gè)零點(diǎn)，則區(qū)間[m，10π]恰好包含10個(gè)周期，
函數(shù)在區(qū)間[m+kπ，m+（k+1）π]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故在[m，10π]上有20個(gè)零點(diǎn)．
∴m∈（-

π

4

，

5π

12

]，a₁+a₂+a₃+…+a₁₉+a₂₀=[

5π

12

+（π+

5π

12

）+（2π+

5π

12

）+…+（9π+

5π

12

）]+[

3π

4

+（π+

3π

4

）+（2π+

3π

4

）+…+（9π+

3π

4

）]
=

295π

6

+

105π

2

=

305π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、函數(shù)的奇偶性、根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖象分析是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．