已知函數(shù)f（x）=x3-2ax2+x+1，
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為4，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f′（x）在區(qū)間（1，2）上存在零點，求a的取值范圍．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f′（x）在區(qū)間（1，2）上存在零點，求a的取值范圍．
解答： 解：（1）∵f（x）=x3-2ax2+x+1，
∴f′（x）=3x2-4ax+1，
∵函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為4，
∴f′（1）=3-4a+1=4，解得a=0．
（2）g（x）=f′（x）=3x2-4ax+1，
若g（x）=f′（x）在區(qū)間（1，2）上存在零點，
即3x2-4ax+1=0在（1，2）上有解，
即∵g（0）=1＞0，
∴若對稱軸-
-4a
2×3
=
2a
3
＜0，則函數(shù)g（x）在（1，2）上單調遞增，不滿足條件，
若對稱軸-
-4a
2×3
=
2a
3
＞0，即a＞0，
要使g（x）=f′（x）在區(qū)間（1，2）上存在零點，
則g（1）g（2）＜0，即（4-4a）（13-8a）＜0，解得1＜a＜
13
8
，
即 a∈(1，
13
8
)．
點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)根的存在性條件的應用，綜合考查函數(shù)的性質．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=i（2+i）在復平面內(nèi)對應的點位于（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x∈[-
π
12
，
π
3
]，則函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小值是（　�。�
A、-1
B、-
3
2
C、
1
2
D、1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=（
1
2014
）x-log2014x，實數(shù)a、b、c滿足f（a）f（b）f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，若實數(shù)x0是函數(shù)f（x）的一個零點，則下列不等式中，不可能成立的是（　�。�
A、x0＜a
B、x0＞b
C、x0＜c
D、x0＞c

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=
sinπx(x＜
1
2
)
f(x-1)+1(x≥
1
2
)
，求f（
1
4
）+f（
7
6
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

P（x0，y0）是雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上一點，M，N分別是雙曲線E關于原點對稱的兩點且兩者的橫坐標不與|x0|相等．
（1）求證：直線PM，PN的斜率之積為為定值，并寫出這個定值；　
（2）若直線PM，PN的斜率之積為
1
5
，求雙曲線的離心率；
（3）在問題（2）的假定下，過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足
OC
=λ
OA
+
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=Acos（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示．
（1）將函數(shù)g（x）的圖象保持縱坐標不變，橫坐標向右平移
π
3
個單位后得到函數(shù)f（x）的圖象，求函數(shù)f（x）在x∈[-
π
6
，
π
3
]上的值域；
（2）求使f（x）≥2的x的取值范圍的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a（x2+1）+lnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若對任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]時，恒有ma-f（x）＞a2成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2x-cosx+b，x∈R．
（1）若f（
π
2
）=1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，
π
3
]時，f（x）的圖象與x軸有交點，求實數(shù)b的取值范圍．

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