Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)B（0，

3

）為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，∠OF₂B=60°．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，過右焦點(diǎn)F₂，且斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE、AF分別交直線x=3于點(diǎn)M、N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF₂的斜率為k′．求證：k•k′為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出b=

3

，a=

3

sin60°

=2，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₂（1，0）的直線l方程為：y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由已知條件利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出直線PF2 的斜率k′=-

3

4k

．由此能證明k•k′為定值-

3

4

．

解答： 解：（Ⅰ）解：如圖，∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
點(diǎn)B（0，

3

）為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，∠OF₂B=60°，
∴b=

3

，a=

b

sin∠OF2B

=

3

sin60°

=2，…
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…
（Ⅱ）證明：設(shè)過點(diǎn)F₂（1，0）的直線l方程為：y=k（x-1）．…
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，
得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…
因?yàn)辄c(diǎn)F₂（1，0）在橢圓內(nèi)，所以直線l和橢圓都相交，
即△＞0恒成立．
設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

．…
因?yàn)橹本�AE的方程為：y=

y1

x1-2

(x-2)，
直線AF的方程為：y=

y2

x2-2

(x-2)，…
令x=3，得M（3，

y1

x1-2

），N（3，

y2

x2-2

），
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)（3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)）．…
直線PF2 的斜率為k′=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

3-1

=

1

4

（

y1

x1-2

+

y2

x2-2

）
=

1

4

•

x1y2+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

…
=

1

4

•

2k• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2• 8k2 4k2+3 +4

=-

3

4k

．
所以k•k′為定值-

3

4

．…

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率的乘積為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．