Question

【題目】已知函數(shù)，a∈R．

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=0（Ⅱ）單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，-），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（-，+∞）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（II）當(dāng)時(shí)，令，得，，分三種情況①，②當(dāng)，③當(dāng)，討論的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)?/span>R，．

當(dāng)a=1時(shí)，f′（0）=0，f（0）=0，

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=0．

（Ⅱ）f′（x）=aex（x+1）-x-1=（x+1）（aex-1）．

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，aex-1＜0，

所以當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0．

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）．

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna．

①當(dāng)-lna=-1，即a=e時(shí)，f′（x）≥0，

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

②當(dāng)-lna＜-1，即a＞e時(shí)，

當(dāng)-lna＜x＜-1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＜-lna或x＞-1時(shí)，f′（x）＞0．

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-lna，-1），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-lna），（-1，+∞）；

③當(dāng)-lna＞-1，即0＜a＜e時(shí)，

當(dāng)-1＜x＜-lna時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＜-1或x＞-lna時(shí)，f′（x）＞0．

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，-lna），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（-lna，∞）．