Question

已知橢圓C₁：

x2

4b2

+

y2

b2

=1（b＞0），拋物線C₂：x²=4（y-b）．過點(diǎn)F（0，b+1）作x軸的平行線，與拋物線C₂在第一象限的交點(diǎn)為G，且該拋物線在點(diǎn)G處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx與橢圓C₁相交于兩點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在第一象限，點(diǎn)A為橢圓C₁的右頂點(diǎn)，求四邊形ACFD面積的最大值及此時l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由x²=4（y-b），可得y=

1

4

x2+b，與y=b+1聯(lián)立可得G（2，b+1），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，進(jìn)而點(diǎn)到過點(diǎn)G的切線方程為y=x+b-1，
把（0，0）代入可得b=1即可點(diǎn)到橢圓的方程．
（Ⅱ）依題意有k＞0，設(shè)C（x_C，kx_C），把y=kx與橢圓方程聯(lián)立可得xC=

2

1+4k2

，利用S_AFCD=S_△CFD+S_△ACD=

1

2

|OF|×2xC+

1

2

|OA|×2kxC，及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由x²=4（y-b），可得y=

1

4

x2+b，當(dāng)y=b+1，得x=±2，
∴G（2，b+1），
由y′=

1

2

x，
∴y′|_x=2=1，
∴過點(diǎn)G的切線方程為y-（b+1）=x-2，即y=x+b-1，
把（0，0）代入可得b=1．
即橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．

（Ⅱ）依題意有k＞0，設(shè)C（x_C，kx_C），
由

x2 4 +y2=1 y=kx

得xC=

2

1+4k2

，
∴S_ACFD=S_△CFD+S_△ACD=

1

2

|OF|×2xC+

1

2

|OA|×2kxC
=2（1+k）x_C=

4(1+k)

1+4k2

=4

(1+k)2 1+4k2

（*），
令t=1+k，k=t-1，t∈（1，+∞），

1

t

∈(0，1)，
則

(1+k)2

1+4k2

=

t2

1+4(t-1)2

=

1

5( 1 t )2-8( 1 t )+4

≤

5

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

5

4

，k=

1

4

時，等號成立．
∴S_ACFD≤2

5

，
∴四邊形ACFD面積的最大值為2

5

，l的方程為y=

1

4

x．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．